CEBİRSEL İFADELER
CEBİR NEDİR?
Cebir, yapı, bağıntı ve nicelik üzerine uğraşan bir matematik dalıdır. Bilinmeyen değerlerin, simge ve harflerle betimlenerek kurulan denklemlerle bulunması (ya da bilinmeyenlerin arasındaki bağıntının bulunması) temeline dayanır. Denklem kurma ve çözme, genelleme yapma ve denklemlerle ve oradan hareketle fonksiyonlarla çalışma olarak üç temel karakteristiğiyle açıklanabilir. Bir cebirsel etkinlik bunlardan birini veya tümünü içerebilir.
“3 ekmeğin, 5 şişe litrelik sütün ve bir düzine yumurtanın fiyatı” ile matematiksel olarak ilişki kurmak güç gelebilir. Cebir; bu tip problemlerle daha kolay ilişki kurmamızı sağlayan bir matematiksel dildir. Cebir; aritmetiğin sayılardan küme ve grup kavramlarını kullanarak sembollere açılımıdır. Simgesel denklemlerle hesap yapan matematik kolu olarak da tanımlanabilir. Bilinen sayılarla yapılan bir hesap (2+9-3=8) bir ‘problem’ oluşturmaz. Fakat bir ya da birden fazla bilinmeyene sahip bir hesap (x+9-y=6+x), denklem (‘problem’) oluşturmuş olur ve bunun çözümü, ‘cebir’ ile mümkündür. Demek ki cebir, alanı 15 metrekare olan bir karenin kenar uzunluğunu, ya da % 20’lik bir indirimden sonra 250 bin lira ödenmiş bir eşyanın gerçek fiyatını bulmak için kullanılır.
Cebir temellerini El Harezmi'den alır. Cebir sözcüğü de Harezmi'nin "El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il Cebri ve’l-Mukabele” (Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap) adlı eserinden gelmektedir. Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk müstakil cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır. El Harezmi'den bu yana cebir çok değişmiştir. Ayrıca Cezeri'nin Kitabü'l-Hiyal adlı kitabında da bu konuyla ilgili bilgiler bulunabilir.
CEBİRSEL İFADELERLE TOPLAMA İŞLEMİ
Değişken: Bir cebirsel ifadedeki bilinmeyenlere değişken denir. Bu değişkenler x,y,z,a,b,m,n,… şeklinde olabilirler.
Terim: Bir cebirsel ifadede + veya - işaretleriyle ayrılmış olan parçalara terim denir.
örneğin; 2xy-5x ifadesi 2 terimden oluşur.Fakat -9xyzka ifadesi tek terimlidir.
Katsayı: Bir terimin önünde bulunan sayılardır. 2xy ifadesinin katsayısı 2 dir. -5x in katsayısı -5 tir.
2xyz-4x-5 ifadesinde 3 tane katsayı vardır. bunlar 2 ve -4 ve -5 tir. DİKKAT! -5 in önünde bilinmeyen olmasa da katsayısı vardır.
Benzer terim: Bir cebirsel ifadenin birçok terimi olsun. Eğer terimleri birbirinin aynısı ise bunlara benzer terim denir. Dikkat! Terimler katsayıları haricinde tamamen birbirine benzemeli.
Denklem: içinde eşittir işareti olan ifadelerdir.
Örneğin; 2x+5= 7 gibi…
Toplama ve çıkarma işleminde birimleri aynı olmayan şeyleri toplayamaz ve çıkartamayız. Cebrisel ifadelerde de toplama veya çıkarma işlemi yaparken terimlerin aynı olmasına dikkat edeceğiz.
ÖRNEKLER
1. +4a-5ab-3a-4b+2ab
=(+4-3)a+(-5+2)ab-4b
= +1a-3ab-4b
2. 2x-4+3x+3
=(-4)+3+2x+3x
=(-1)+5x
3.1x+2x
=3x
4.-1x+9x+6a
=(-1x+9x)+6a
=8x+6a
5.2x+1a+1x
=2x+1x+1a
=3x+10
6.18x+2x
=20x
7.5x-4-7x
=-7x+5x-4
=-2x-4
8.12+6x+9+x
=12+9+6x+1x
=21+7x
9.2x+3x
=5x
10.-6x+1+-x-4
=-6x-x+1-4
=-7x+-
CEBİRSEL İFADELERLE ÇIKARMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerdeki işlemleri yapmadan önce bazı bilgilere ihtiyacımız var. İsterseniz önce bunların tanımlarını bir verelim.
Değişken: Bir cebirsel ifadedeki bilinmeyenlere değişken denir. Bu değişkenler x,y,z,a,b,m,n,… şeklinde olabilirler.
Terim: Bir cEirsel ifadede + veya - işaretleriyle ayrılmış olan parçalara terim denir.
örneğin; 2xy-5x ifadesi 2 terimden oluşur.Fakat -9xyzka ifadesi tek terimlidir.
Katsayı: Bir terimin önünde bulunan sayılardır. 2xy ifadesinin katsayısı 2 dir. -5x in katsayısı -5 tir.
2xyz-4x-5 ifadesinde 3 tane katsayı vardır. bunlar 2 ve -4 ve -5 tir. DİKKAT! -5 in önünde bilinmeyen olmasa da katsayısı vardır.
Benzer terimkatsayıları haricinde tamamen birbirine benzemeli.
Denklem: içinde eşittir işareti olan ifadelerdir
Örneğin; 2x-5 = 7 gibi…
ÖRNEKLER
1.2x-1a-1x
=2x-1x-1a
=3x-a
2. 3x-11-x
=3x-x-11
=2x-11
3.2a-1a
=1a
4.2x-3-5-12x
=2x-12x-3-5
=-10x-8
5.14x-4x+6x=
=20x-4x
=16x
6.19x-10x+10a
=9x-10a
7.100x-12-15x
100x-15x-12
75x-12
8.1e-11e-15x-10x
=12e-5x
9.20s-1s
=19s
10.15a-a-2a-12a
=0a
CEBİRSEL İFADELERLE ÇARPMA İŞLEMİ
Hatırlayacaksınız; toplama ve çıkarma işlemi yaparken benzer terimlerin olması gerekiyordu.
Çarpma işleminde ise benzer terim şartı yok.
Her terim diğeriyle çarpılabilir.
Örneğin; 2x ile 3y toplanamaz fakat çarpılabilir.
2x.3y = 6xy eder
Görüldüğü gibi 2 ile 3 çarpıldığında 6 sonucunu elde ederiz.
x ile y benzer değildir bu yüzden yan yana yazıyoruz.
Peki bazı durumlara bakalım.
Şimdi dağılma özelliğinin de içinde olduğu çarpma işlemlerine bir göz atalım.
1- 2x (3x+2y) = 6x2+8xy
2- (-2a2+b) (-5ab+4b)
=+10a3b-8a2b-5ab2+4b2
Yukarıdaki örneğin 1. sinde 2x sayısı paranteze dağıtılacak. Önce 3x ile, sonra 4y ile çarpılıyor. Bu, kolay olan bir dağılmaydı. Şimdi diğerine bakalım.
2 örnekte ise, birinci parantezdeki terim 2 tane, bu terimler tek tek diğer parantezdeki terimlerle çarpılacak.DİKKAT! dağılma özelliğinde özellikle terimlerin önündeki işaret çarpımlarına dikkat edilmeli. Birinci parantezdeki birinci terim diğer parantezdeki 2 terimle de tek tek çarpıldı, sonra ise birinci aprantezdeki ikinci terim diğer parantezdeki 2 terimle tek tek çarpıldı.İşaretlere dikkat edildi. Zaten, hangi terimelrin birbiriyle çarpıldığı ok ile gösterilmekte.
ÖRNEKLER
1 x.x = x2
2 8x.(3x+1)= 24x2+8x
3 9x.(3x+2)= 27x2+18x
4 2x.4x = 8x2
5 6x.(x-2) = 6x2-12x
6 6x.24=144x
7 32x.2=64x
8 85x.96=8160x
9 x.(x-1)= x2-1x
10 3x.5x= 15x2
11 2x.(x+8)= 2x2+16x
12 3x.(2x-9) = 6x2-27x
13 4.(x+4)= 4x+16
14 2.(x+8) =2x+16
15 2.(x+10):2x+10
16 9.(x+9):9x+81
17 9.(x+3):9x+27
18 2.8x:16x
19 3.10x:30x
20 15x.10:150x
CEBİRSEL İFADELERLE ÇIKARMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerdeki işlemleri yapmadan önce bazı bilgilere ihtiyacımız var. İsterseniz önce bunların tanımlarını bir verelim.
Değişken: Bir cebirsel ifadedeki bilinmeyenlere değişken denir. Bu değişkenler x,y,z,a,b,m,n,… şeklinde olabilirler.
Terim: Bir cEirsel ifadede + veya - işaretleriyle ayrılmış olan parçalara terim denir.
örneğin; 2xy-5x ifadesi 2 terimden oluşur.Fakat -9xyzka ifadesi tek terimlidir.
Katsayı: Bir terimin önünde bulunan sayılardır. 2xy ifadesinin katsayısı 2 dir. -5x in katsayısı -5 tir.
2xyz-4x-5 ifadesinde 3 tane katsayı vardır. bunlar 2 ve -4 ve -5 tir. DİKKAT! -5 in önünde bilinmeyen olmasa da katsayısı vardır.
Benzer terimkatsayıları haricinde tamamen birbirine benzemeli.
Denklem: içinde eşittir işareti olan ifadelerdir
Örneğin; 2x-5 = 7 gibi…
ÖRNEKLER
1.2x-1a-1x
=2x-1x-1a
=3x-a
2. 3x-11-x
=3x-x-11
=2x-11
3.2a-1a
=1a
4.2x-3-5-12x
=2x-12x-3-5
=-10x-8
5.14x-4x+6x=
=20x-4x
=16x
6.19x-10x+10a
=9x-10a
7.100x-12-15x
100x-15x-12
75x-12
8.1e-11e-15x-10x
=12e-5x
9.20s-1s
=19s
10.15a-a-2a-12a
=0a
CEBİRSEL İFADELERLE ÇARPMA İŞLEMİ
Hatırlayacaksınız; toplama ve çıkarma işlemi yaparken benzer terimlerin olması gerekiyordu.
Çarpma işleminde ise benzer terim şartı yok.
Her terim diğeriyle çarpılabilir.
Örneğin; 2x ile 3y toplanamaz fakat çarpılabilir.
2x.3y = 6xy eder
Görüldüğü gibi 2 ile 3 çarpıldığında 6 sonucunu elde ederiz.
x ile y benzer değildir bu yüzden yan yana yazıyoruz.
Peki bazı durumlara bakalım.
Şimdi dağılma özelliğinin de içinde olduğu çarpma işlemlerine bir göz atalım.
1- 2x (3x+2y) = 6x2+8xy
2- (-2a2+b) (-5ab+4b)
=+10a3b-8a2b-5ab2+4b2
2 örnekte ise, birinci parantezdeki terim 2 tane, bu terimler tek tek diğer parantezdeki terimlerle çarpılacak.DİKKAT! dağılma özelliğinde özellikle terimlerin önündeki işaret çarpımlarına dikkat edilmeli. Birinci parantezdeki birinci terim diğer parantezdeki 2 terimle de tek tek çarpıldı, sonra ise birinci aprantezdeki ikinci terim diğer parantezdeki 2 terimle tek tek çarpıldı.İşaretlere dikkat edildi. Zaten, hangi terimelrin birbiriyle çarpıldığı ok ile gösterilmekte.
ÖRNEKLER
1 x.x = x2
2 8x.(3x+1)= 24x2+8x
3 9x.(3x+2)= 27x2+18x
4 2x.4x = 8x2
5 6x.(x-2) = 6x2-12x
6 6x.24=144x
7 32x.2=64x
8 85x.96=8160x
9 x.(x-1)= x2-1x
10 3x.5x= 15x2
11 2x.(x+8)= 2x2+16x
12 3x.(2x-9) = 6x2-27x
13 4.(x+4)= 4x+16
14 2.(x+8) =2x+16
15 2.(x+10):2x+10
16 9.(x+9):9x+81
17 9.(x+3):9x+27
18 2.8x:16x
19 3.10x:30x
20 15x.10:150x
CEBİRSEL İFADELERLE BÖLME İŞLEMİ
Sayılar birbirine harfler birbirine bölünür. Ve aynı harflerin kuvvetleri çıkarılır.
8x : 4x = 2
10ab : 5a = 2b
12x2.y3 : 3xy = 4xy2
Yorumlar - Yorum Yaz