EKOK ve EBOB
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir.
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir.
a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK (a, b) veya (a, b)ekok şeklinde gösterilir.
***
ÖRNEK:
30 ve 9 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
Bir sayının hem 30’un hem de 9’un en küçük ortak katı olması için:
30’un katlarının kümesi: {30, 60, 90 , 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390,420,...}
9’un katlarının kümesi: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 , 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360, 369, 378, ...}
30 ve 9 sayılarının ortak katlarının kümesi: {90, 180, 270, 360, ... }’dir. Ortak katların en küçüğü 90’dır.
O hâlde EKOK (30, 9) = 90’dır.
Bu yöntem kullanışsız olduğu için tercih edilmez.
II. Yöntem: 30 ve 9 sayılarının EKOK’u bu iki sayıya aynı anda asal çarpanlar algoritması uygulanarak da bulunabilir.
30 ve 9’un en küçük ortak katı, EKOK (30, 9) = 2 . 3 . 3 . 5 = 90’dır.
***
ÖRNEK:
168, 90 ve 150 sayılarının EKOK’unu bulalım.
168, 90 ve 150 sayılarına asal çarpanlar algoritması uygularız.
EKOK (168, 90, 150) = 23 . 32 . 52 . 7 = 12 600 olur.
***
ÖRNEK:
Bu iki doktor aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklardır?
ÇÖZÜM:
EKOK’tan yararlanarak bulabiliriz.
***
ÖRNEK:
Aynı hastanede çalışan iki doktordan biri 6 günde bir, diğeri ise 8 günde bir nöbet tutmaktadır.
Bu iki doktor aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklardır?
ÇÖZÜM:
EKOK’tan yararlanarak bulabiliriz.
EKOK (6,8) = 24 olur. Doktorlar 24 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.
***
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir.
a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB (a, b) veya (a, b)ebob şeklinde gösterilir.
***
ÖRNEK:
40 ile 60 sayılarının EBOB'unu bulalım.
ÇÖZÜM:
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir.
a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB (a, b) veya (a, b)ebob şeklinde gösterilir.
***
ÖRNEK:
40 ile 60 sayılarının EBOB'unu bulalım.
ÇÖZÜM:
40 ve 60 sayılarının en büyük ortak böleni aşağıdaki gibi asal çarpanlar algoritması kullanarak da bulunabilir.
Bu yöntemde sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür, her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar işaretlenir.
Daha sonra işaretlenen sayılar çarpılır.
Bu yöntemde sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür, her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar işaretlenir.
Daha sonra işaretlenen sayılar çarpılır.
40 ve 60 sayılarının EBOB’u; EBOB (40,60) = 20 olur.
***
ÖRNEK:
a) En az sayıda karo kullanmak için karonun bir kenar uzunluğu kaç santimetre olmalıdır?
b) Kaç tane karo kullanılır?
ÇÖZÜM:
2 . 5 . 5 = 50 EBOB (250,150) = 50’dir.
O hâlde karonun bir kenarının uzunluğu 50 cm olmalıdır.
250 . 150 = 37500 cm2 (Balkonun tabanının alanı)
50 . 50 = 2500 cm2 (Bir karonun alanı)
37500 : 2500 = 15 tane karo kullanılmaktadır.
***
ÖRNEK:
Dikdörtgensel bölge şeklindeki bir balkonun tabanının kenar uzunlukları 250 cm ve 150 cm’dir. Bu balkonun tabanı karesel bölge şeklindeki karolarla kaplanmak isteniyor.
a) En az sayıda karo kullanmak için karonun bir kenar uzunluğu kaç santimetre olmalıdır?
b) Kaç tane karo kullanılır?
ÇÖZÜM:
a) En az sayıda karo kullanmak için bir karonun kenar uzunluğu mümkün olan en büyük sayı seçilmelidir. Bu sayıyı, verilen uzunlukların ortak bölenlerinin en büyüğünü (EBOB) bularak elde ederiz.
250 ve 150 sayılarının her birini aynı anda bölen sayılar 2, 5 ve 5’tir. Bu sayıarın çarpımı bize EBOB’u verir.
2 . 5 . 5 = 50 EBOB (250,150) = 50’dir.
O hâlde karonun bir kenarının uzunluğu 50 cm olmalıdır.
b) Kullanılan karo sayısını bulmak için dikdörtgensel bölgenin alanını bir karonun alanına bölmemiz gerekir.
250 . 150 = 37500 cm2 (Balkonun tabanının alanı)
50 . 50 = 2500 cm2 (Bir karonun alanı)
37500 : 2500 = 15 tane karo kullanılmaktadır.